1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6 сторона основания. Развертка пирамиды

Формула объема шестиугольной пирамиды: пример решения задачи

Вычисление объемов пространственных фигур является одной из важных задач стереометрии. В данной статье рассмотрим вопрос определения объема такого полиэдра, как пирамида, а также приведем формулу объема пирамиды шестиугольной правильной.

Пирамида шестиугольная

Для начала рассмотрим, что собой представляет фигура, о которой пойдет речь в статье.

Пусть у нас имеется произвольный шестиугольник, стороны которого не обязательно равны друг другу. Также предположим, что мы выбрали в пространстве точку, не находящуюся в плоскости шестиугольника. Соединив все углы последнего с выбранной точкой, мы получим пирамиду. Две разные пирамиды, имеющие шестиугольное основание, показаны на рисунке ниже.

Видно, что помимо шестиугольника фигура состоит из шести треугольников, точка соединения которых называется вершиной. Различие между изображенными пирамидами заключается в том, что высота h правой из них не пересекает шестиугольное основание в его геометрическом центре, а высота левой фигуры попадает точно в этот центр. Благодаря этому критерию левая пирамида получила название прямой, а правая — наклонной.

Поскольку основание левой фигуры на рисунке образовано шестиугольником с равными сторонами и углами, то она называется правильной. Дальше в статье речь пойдет только об этой пирамиде.

Объем шестиугольной пирамиды

Для вычисления объема произвольной пирамиды справедлива следующая формула:

Здесь h — это длина высоты фигуры, So — площадь ее основания. Воспользуемся этим выражением для определения объема пирамиды шестиугольной правильной.

Поскольку в основании рассматриваемой фигуры лежит равносторонний шестиугольник, то для вычисления его площади можно воспользоваться следующим общим выражением для n-угольника:

Sn = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Здесь n — целое число, равное количеству сторон (углов) многоугольника, a — длина его стороны, функцию котангенса высчитывают, используя соответствующие таблицы.

Применяя выражение для n = 6, получим:

S6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2

Теперь остается подставить это выражение в общую формулу для объема V:

Таким образом, для вычисления объема рассматриваемой пирамиды необходимо знать два ее линейных параметра: длину стороны основания и высоту фигуры.

Пример решения задачи

Покажем, как можно использовать полученное выражение для V6 для решения следующей задачи.

Известно, что правильной шестиугольной пирамиды объем равен 100 см 3 . Необходимо определить сторону основания и высоту фигуры, если известно, что они связаны друг с другом следующим равенством:

Поскольку в формулу для объема входят только a и h, то можно подставить в нее любой из этих параметров, выраженный через другой. Например, подставим a, получаем:

Для нахождения значения высоты фигуры необходимо взять корень третей степени из объема, что соответствует размерности длины. Подставляем значение объема V6 пирамиды из условия задачи, получаем высоту:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 см

Поскольку сторона основания в соответствии с условием задачи в два раза больше найденной величины, то получаем значение для нее:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 см

Объем шестиугольной пирамиды можно найти не только через высоту фигуры и значение стороны ее основания. Достаточно знать два разных линейных параметра пирамиды для его вычисления, например апотему и длину бокового ребра.

Формула объема шестиугольной пирамиды: пример решения задачи

Вычисление объемов пространственных фигур является одной из важных задач стереометрии. В данной статье рассмотрим вопрос определения объема такого полиэдра, как пирамида, а также приведем формулу объема пирамиды шестиугольной правильной.

Читать еще:  Российские певцы 90 х годов. Как заказать звезду на праздник цены на юбилей, день рождения

Пирамида шестиугольная

Для начала рассмотрим, что собой представляет фигура, о которой пойдет речь в статье.

Пусть у нас имеется произвольный шестиугольник, стороны которого не обязательно равны друг другу. Также предположим, что мы выбрали в пространстве точку, не находящуюся в плоскости шестиугольника. Соединив все углы последнего с выбранной точкой, мы получим пирамиду. Две разные пирамиды, имеющие шестиугольное основание, показаны на рисунке ниже.

Видно, что помимо шестиугольника фигура состоит из шести треугольников, точка соединения которых называется вершиной. Различие между изображенными пирамидами заключается в том, что высота h правой из них не пересекает шестиугольное основание в его геометрическом центре, а высота левой фигуры попадает точно в этот центр. Благодаря этому критерию левая пирамида получила название прямой, а правая — наклонной.

Поскольку основание левой фигуры на рисунке образовано шестиугольником с равными сторонами и углами, то она называется правильной. Дальше в статье речь пойдет только об этой пирамиде.

Объем шестиугольной пирамиды

Для вычисления объема произвольной пирамиды справедлива следующая формула:

Здесь h — это длина высоты фигуры, So — площадь ее основания. Воспользуемся этим выражением для определения объема пирамиды шестиугольной правильной.

Поскольку в основании рассматриваемой фигуры лежит равносторонний шестиугольник, то для вычисления его площади можно воспользоваться следующим общим выражением для n-угольника:

Sn = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Здесь n — целое число, равное количеству сторон (углов) многоугольника, a — длина его стороны, функцию котангенса высчитывают, используя соответствующие таблицы.

Применяя выражение для n = 6, получим:

S6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2

Теперь остается подставить это выражение в общую формулу для объема V:

Таким образом, для вычисления объема рассматриваемой пирамиды необходимо знать два ее линейных параметра: длину стороны основания и высоту фигуры.

Пример решения задачи

Покажем, как можно использовать полученное выражение для V6 для решения следующей задачи.

Известно, что правильной шестиугольной пирамиды объем равен 100 см 3 . Необходимо определить сторону основания и высоту фигуры, если известно, что они связаны друг с другом следующим равенством:

Поскольку в формулу для объема входят только a и h, то можно подставить в нее любой из этих параметров, выраженный через другой. Например, подставим a, получаем:

Для нахождения значения высоты фигуры необходимо взять корень третей степени из объема, что соответствует размерности длины. Подставляем значение объема V6 пирамиды из условия задачи, получаем высоту:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 см

Поскольку сторона основания в соответствии с условием задачи в два раза больше найденной величины, то получаем значение для нее:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 см

Объем шестиугольной пирамиды можно найти не только через высоту фигуры и значение стороны ее основания. Достаточно знать два разных линейных параметра пирамиды для его вычисления, например апотему и длину бокового ребра.

Презентация на тему: Объем пирамиды

ОБЪЕМ ПИРАМИДЫТеорема. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту.Доказательство. Рассмотрим случай треугольной пирамиды. Пусть A1ABC треугольная пирамида. Достроим ее до призмы ABCA1B1C1 . Плоскости, проходящие через точки B, C, A1 и C, B1, A1 разбивают эту призму на три пирамиды A1ABC, A1CBB1 и A1CB1C1 с вершинами в точке A1. Пирамиды A1CBB1 и A1CB1C1 имеют равные основания CBB1 и CB1C1. Кроме этого, данные пирамиды имеют общую вершину, а их основания лежат в одной плоскости. Значит, эти пирамиды имеют общую высоту. Следовательно, эти пирамиды имеют равные объемы. Рассмотрим теперь пирамиды A1ABC и CA1B1C1. Они имеют равные основания ABC и A1B1C1 и равные высоты. Следовательно, они имеют равные объемы. Таким образом, объемы всех трех пирамид равны. Учитывая, что объем призмы равен произведению площади основания на высоту, получим формулу объема треугольной пирамиды где S — площадь основания пирамиды, h — ее высота.

Читать еще:  Как сделать муравья из любого материала. Поделка муравей своими руками. Украшение из сосновых шишек

ОБЪЕМ ПИРАМИДЫПусть теперь дана пирамида, в основании которой — многоугольник. Рассмотрим треугольную пирамиду с такой же высотой и такой же площадью основания. По теореме предыдущего параграфа объемы этих пирамид равны и, следовательно, имеет место формулагде S — площадь основания пирамиды, h — ее высота.

Упражнение 1Вершинами пирамиды являются все вершины одного основания и одна вершина другого основания призмы. Какую часть объема призмы составляет объем пирамиды?

Упражнение 2Найдите объем пирамиды, высота которой 3, а в основании — прямоугольник со сторонами 1 и 2.

Упражнение 3Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 1, высота – 2.

Упражнение 4В правильной четырехугольной пирамиде высота 3 м, боковое ребро 5 м. Найдите ее объем.

Упражнение 5Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является правильный треугольник со стороной, равной 1. Решение. Пусть ACS – правильный треугольник. Его высота SO равна Сторона основания равнаСледовательно, объем призмы равен

Упражнение 6Найдите объем тетраэдра с ребром, равным 1.Решение. Пусть E – середина ребра BC. В треугольнике ADE AE = DE = Высота DH равнаПлощадь треугольника ABC равнаСледовательно, объем тетраэдра равен

Упражнение 7Объем правильной шестиугольной пирамиды 6 см3. Сторона основания 1 см. Найдите боковое ребро.

Упражнение 8Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 1. Найдите объем пирамиды. Решение. Примем треугольник ABS за основание пирамиды. Тогда SC будет высотой. Объем пирамиды равен

Упражнение 9Найдите объем треугольной пирамиды, если длина каждого ее бокового ребра равна 1, а плоские углы при вершине равны 60°, 90° и 90°.Решение. Примем треугольник ABS за основание пирамиды. Тогда SC будет высотой. Объем пирамиды равен

Упражнение 10Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с основанием угол 60о. Найдите объем пирамиды.Решение. Площадь треугольника ABC равнаВысота SA равна Следовательно, объем пирамиды равен

Упражнение 11Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды.Решение. Треугольник SAD равносторонний со сторонойAB = GH = Площадь прямоугольника ABCD равна 6. Следовательно, объем пирамиды равен 6.

Упражнение 12В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3 см, а прилежащий к нему острый угол равен 30о. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60о. Найдите объем пирамиды.Решение. Площадь треугольника ABC равна Основанием высоты SH служит середина AC. Треугольник SAC равносторонний со стороной, равной Его высота равна 3. Следовательно, объем пирамиды равен

Упражнение 13Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом 30о. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите объем пирамиды.Решение. Площадь основания пирамиды равна 120 см2. Сторона основания равна 13 см. Высота ромба равна Высота пирамиды равна Следовательно, объем пирамиды равен

Упражнение 14Пирамида, объем которой равен 1, а в основании лежит прямоугольник, пересечена четырьмя плоскостями, каждая из которых проходит через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания. Определите объем оставшейся части пирамиды.

Упражнение 15Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды 1, а угол между боковой гранью и основанием 45о. Найдите объем пирамиды.

Читать еще:  Говорят лучше поздно чем никогда. Сочинение-рассуждение по пословице «Лучше поздно, чем никогда

Упражнение 16В куб с ребром, равным 1, вписан правильный тетраэдр таким образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Определите объем тетраэдра.

Упражнение 17Найдите объем октаэдра с ребром, равным 1. Решение. Октаэдр состоит из двух правильных четырехугольных пирамид со стороной основания 1 и высотой Следовательно,Объем октаэдра равен

Упражнение 18Центры граней куба, ребро которого равно 1, служат вершинами октаэдра. Определите его объем.

Упражнение 19Развертка треугольной пирамиды представляет собой квадрат со стороной 1. Найдите объем этой пирамиды.Решение. Основанием пирамиды будет прямоугольный треугольник ABC с катетами, равными 0,5. Высота пирамиды будет равна стороне квадрата. Следовательно, объем пирамиды равен

Упражнение 20Плоскость проходит через сторону основания треугольной пирамиды и делит противоположное боковое ребро в отношении 1 : 2, считая от вершины. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Упражнение 21Плоскость пересекает ребра SA, SB, SC треугольной пирамиды SABC в точках A’, B’, C’ соответственно. Найдите объем пирамиды SA’B’C’, если объем исходной пирамиды равен 1 и SA’ : SA = 1 : 2, SB’ : SB = 2 : 3, SC’ : SC = 3 : 4.Решение. Площадь треугольника SA’B’ составляет 1/3 площади треугольника SAB. Высота, опущенная из точки C’ составляет 3/4 высоты, опущенной из вершины С. Следовательно, объем пирамиды SA’B’C’ равен 1/4.

Упражнение 22Два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны и равны 3. Расстояние между ними равно 2. Найдите объем тетраэдра.Решение. Пусть AB перпендикулярно CD. Проведем сечение ADE перпендикулярное BC. Площадь треугольника ADE равна 3. Объем пирамиды равен 3.

Упражнение 23Два противоположных ребра тетраэдра образуют угол 60о и равны 2. Расстояние между ними равно 3. Найдите объем тетраэдра.Решение. Пусть угол между AB и CD равен 60о. Проведем общий перпендикуляр EG. Площадь треугольника ADE равна 3. Объем пирамиды равен

Упражнение 24Одно ребро тетраэдра равно 6. Все остальные ребра равны 4. Найдите объем тетраэдра.Решение. Пусть BC = 6. Обозначим E середину BC. AE = DE = Высота EG треугольника ADE равна Его площадь равна Объем пирамиды равен

Упражнение 25Два куба с ребром a имеют общую диагональ, но один повернут вокруг этой диагонали на угол 60° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.Ответ: Общая часть является правильной 6-й бипирамидой со стороной основания и Высотой Объем этой бипирамиды равен

Упражнение 26Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Один из них повернут на 60° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.

Упражнение 27Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Вершина одного из них лежит в центре основания другого и наоборот. Стороны оснований тетраэдров попарно параллельны. Найдите объем общей части этих тетраэдров.

Упражнение 28Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Вершина одного из них лежит в центре основания другого и наоборот. Основание одного из тетраэдров повернуто на 60° по отношению к основанию другого. Найдите объем общей части этих тетраэдров.

Упражнение 29Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общий отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер. Один тетраэдр повернут на 90° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.Ответ: Общей частью является октаэдр (правильная 4-я бипирамида) с ребромЕго объем равен

Упражнение 30Октаэдр с ребром 1 повернут вокруг прямой, соединяющей противоположные вершины, на угол 45о. Найдите объем общей части исходного октаэдра и повернутого?Ответ: Общей частью является правильная 8-я бипирамида с площадью основания и высотой Ее объем равен

Источники:

http://fb.ru/article/442431/formula-obyema-shestiugolnoy-piramidyi-primer-resheniya-zadachi
http://fb.ru/article/442431/formula-obyema-shestiugolnoy-piramidyi-primer-resheniya-zadachi
http://ppt4web.ru/geometrija/obem-piramidy1.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector